les matrices

12. Les déterminants

Soit une matrice carrée d’ordre n :
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n (1)

ai1 ai2 aij aim

an1 an2 anj ann

On appelle déterminant d’ordre n assorié à la matrice (1) :


a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n

∆= ai1 ai2 aij ain

an1 an2 anj ann




12.1 Propriétés des déterminants

Une matrice est dite transposée de la matrice 1, si ses lignes coïncident avec les colonnes
correspondantes de la matrice (1) et inversement, autrement dit, la transposée de la matrice (1)
est la matrice (2).
a11 a21 aj1 an1
a12 a22 aj2 an2
(2)
a1i a2i aji ani

a1n a2n ajn ann



De même le déterminant de la matrice transposée est de la forme :


a11 a21 aj1 an1
∆’= a12 a22 aj2 an2

a1i a2i aji ani

a1n a2n ajn ann


Propriété 1:
Un déterminant coïncide avec son transposé.
Propriété 2 :
Un déterminant est nul si tous les élément d’une de ses lignes sont nuls (ou colonnes).
Propriété 3 :
En échangeant deux lignes quelconques d’un d »terminant ce dernier change de signe.
Propriété 4 :
Un déterminant ayant deux lignes identiques est nul
Propriété 5 :
En multipliant par un nombre k tous les éléments d’une ligne quelconque d’un déterminant
d’ordre n, on obtient un déterminant dont la vecteur est k multiplié par le déterminant initial.
Propriété 6 :
Si les éléments de deux lignes quelconque d’un déterminant sont proportionnels, alors
ce déterminant est nul.
Propriété 7 :
Si l’une des lignes d’un déterminant d’ordre n est une combinaison linéaire des autres
lignes, alors ce déterminant est nul.
Propriété 8 :
Un déterminant d’ordre n ne varie pas si l’on ajoute aux éléments de l’une de ses lignes
les éléments correspondants d’une autre ligne multipliée par un même nombre.

Exercice d’application.

Calculer le déterminant D= 1 x 5x
-2 2x x
3 4x -x

Solution : D=x2

1 1 5 + 1 1 5
D=x2 -2 2 1 = x2 -- 0 4 11 = x2 4 11
3 4 -1 + 0 1 -16 1 -16 = x2 (-64 -11) = -75x2


13. Rang d’une matrice.

13.1- Mineur d’un déterminant


Soit D un déterminant d’ordre n et k un nombre entier tel que : n -1 ≥ k ≥ 1

Fixons k linges et k colonnes du déterminant D, les éléments qui appartiennent à
l’une des k linges et à l’une des k colonnes choisies forment une matrice carrée
d’ordre k.

Le déterminant de cette matrice est appelé mineur d’ordre k du déterminant D.
Soit M un mineur d’ordre k d’un déterminant D d’ordre n, en supprimant les lignes
et les colonnes qui engendrent M, on obtient un mineur M’ d’ordre n-k est mineur
complémentaire de M.













a11 a12……….a1k a1,k+1…………..a1n
a21 a22……… a2k a2,k+1…………. a2n
. . .
. . M .
. . .
. . .
ak,1 ak,2 ak,k ak,k+1 ak,n
ak+1,1 ak+1,2 ak+1,k ak+1,k+1…………ak+1,n
. . .
. . .
. . . MI
. . .
an,1 an,2 an,k an,k+1 ann









Remarque :
Si tous les mineurs d’ordre k de la matrice A sont nuls, alors tous les mineurs d’ordre
supérieur à k de cette matrice annulent également.
13.2- Rang d’une matrice.
-l’ordre le plus élevé des mineurs non nuls d’une matrice A est égal au rang de la matrice A.
- pour calculer le rang d’une matrice, il faut passer des mineurs d’ordre intérieur à ceux d’ordre
plus élevé. Un mineur d’ordre k non nulle une fois trouvée il suffit de calculer les mineurs
d’ordre k+1 contenant le mineur d. si tous ces mineurs d’ordre k+1 sont nul alors le rang de
la matrice k est k.
Exemple.
A = 2 -4 3 1 0
1 -2 1 -4 2
0 1 -1 3 1
4 -7 4 -4 5
le mineur d’ordre 2, se trouvant à l’intersection des deux premières lignes et deux premières
colonne de A est nul ,mais la matrice A posé de des mineurs d’ordre 2 non nul

Exemple : -4 3
-2 1 ≠ 0 le mineur d’ordre 3 qui contient d.


d’= -4 3 1 0 -1 13
-2 1 -4 = 0 -1 2 = -2 + 13 ≠ 0
1 -1 3 1 -1 3

d’’ le mineur d’ordre 4 qui contient d’1

-4 3 1 0 2 -4 3 1
-2 1 -4 2 ; d’’2 = 1 -2 1 -4
d’1= 1 -1 3 1 0 1 -1 3
-7 4 -4 5 4 -7 4 -4

d’’1 =0 d’’2 =0 le rang de A et 3


14. Calcul de l’inverse d’une matrice.
14.1 Théorème :
Une matrice carrée A d’ordre n (nέ1) est inversible si et seulement si déterminant
de A est ≠0

14.2 Matrice des cofacteurs.
Soit A= (aij) 1<i<n une matrice d’ordre n
1<j<n
On appelle matrice des cofacteurs associée la matrice A,la matrice C = (cij)
ou cij =(-1)i+j Dij avec Dij le déterminant de la matrice d’ordre (n-1) obtenu
en supprimant dans Ala iere ligne et la jere colonne.






Théorème :
Si A est une matrice inversible alors




1tc où :

A-1= Det A


C’est la matrice des cofacteurs, associé à A, tc : transposée de C.
Exemple.
Déterminer la matrice inverse de A

1 - 1 1
A = 2 0 2
0 3 4
det A= 8 donc la matrice A est inversible la matrice des cofacteurs associée à A est

0 2 - 2 2 2 0
3 4 0 4 0 3

-1 1 1 1 1 -1
C = 3 4 0 4 - 0 3

-1 1 - 1 1 1 -1
0 2 2 2 2 0

-6 -8 6
7 4 -3
C = -2 0 2




A-1 = 1/ detA έ C


-6 7 -2
A -1 = 1/8 -8 4 0
6 -3 2